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托勒密定理的证明与妙用
作者:admin  更新时间:2019-02-07 20:43:28

托勒密定理

我可以像这样地玩。

本年8月初,萧边有幸与了次货个算学朝圣者!于是,有机会倾听算学和咖啡粉的分享。!穿着于特忧虑托勒密定理的神效,让我大开眼界。! 这是课文。,留念本色棉布算学游览家之行!

托勒密定理灵复杂、模式美妙,有助于处置CI的内凸四边的的边长。它的必要到处理CONV最重要的成绩有很大扶助。。小编将从托勒密定理的显示及消耗,中间定位概论消耗放大。!

1、托勒密定理的两种证法

普通到什么程度读本“托勒密定理”,实来自依巴谷卫星(希帕克)两次发球权,托勒密刚从他的书中爱挑三拣四的出现。。

定理:凸四边的的两对对边创作的和。

已知:如图1,凸四边的ABCD是圆O的内接四边的,衔接斜列ACBD

求证:

1

辨析:从意见的模式,咱们可以闪现相似的的机构正方形的。,于是开腰槽响应的将按比例放大。,并将其转变为创作模式。,其目的是为了达到证明。!

先证:如图2,在BD找到少数。E,使∠1=∠2

2

证二:如图3∠1=∠2,使AECB点伸展线E

3

2、托勒密定理的消耗

例1:如图4,O的内接四边的ABCD,AB=3,AD=5,∠BAD=60∘,点C为弧BD的正中央,则AC尺寸是       


4

解析:衔接BD,由于∠BAD=60CB=CD,易知∠BCD=120,BD=3BC

由托勒密定理知:

AC.3BC=3BC+5BC

3AC=8,AC=83/3

例2:如图5,点P是等边的△ABC外接圆劣弧BC基本事实少数,衔接PAPBPC

求证:PA=PB+PC


5

解析:由于△ABC为等边的正方形的,故AB=BC=AC

由托勒密定理知:

,即AP=PB+PC

例3:(应用托勒密定理显示毕氏定理)已知RtABC,直角AB=A,BC=b,斜边AC= C。求证:

解析:如图6,建造物矩形ABCD和外接圆O,

 6

由托勒密定理得:

3、托勒密定理的结论及显示

托勒密定理在处理圆的内接凸四边的的边长相干时不普通的简约、方便的,但它仅限于凸四边的共边缘。。假使凸四边的责备圆形的,单方会不期而遇什么的相干?

托勒密定理结论:任性凸四边的ABCD,必需有A.BD不足A.CD AD.BC。,当ABCD为四点时,取等号。。

显示:如图7在四边的ABCD血管中层,衔接交流、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD

△ABE∽△ACD


7

∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD

∴(1),

AB/AE=AC/AD

∵∠BAE=∠CAD

∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC

∠BAC=∠DAE

∵AB/AE=AC/AD,

∴△ABC∽△AED

∴BC/ED=AC/AD

∴(2)

由(1)+(2)得:

AC.(BE+ED)=

∵BE+ED≥BD

∴≤

当且仅当E段分割BD.,等号确立或使安全

8

如图8,此刻∠ABD=∠ACD

ABCD四点公共环

4、托勒密定理结论的复杂消耗

4:如图9,四边的中间的BC= CD,∠BCD=90。若AB=4cm,AD=3cm,斜列AC最高点为      cm.


9

解析:论题是2017公园二年级完毕时的算学试题,咱们通常应用旋转法。AC的最高点。当小编察觉托勒密定理的结论时,这个成绩进入不普通的复杂。。

由托勒密定理得:

AC.2BC

2AC7,即AC72/2

咱们不曾缺少知。,不管怎样咱们缺少对知的吸取。、运作输入!

路漫漫其修远兮,吾将左右而求索!

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