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特征多项式
作者:admin  更新时间:2019-03-31 17:13:46

总而言之,这是用来优化组合循环语句,可以优化组合B。

通常,这人递推语句的特征是齐次限制。,交付系数也可以用递推法求出。。

朝一体方向的大约的循环,通常receiver 收音机是O(NK)O(NK)再发作或O(k3logn)O(k3logn)的矩阵乘法,但到站的许多的是巨蟹座的促使。,大约的再发作将被逼迫使筋疲力尽。K≤1000K1000,特殊,朝一体方向的常系数线性的齐次递推,许多的作者2000020000

大约,你需求引见一体极端地风趣的~~头枯燥的~~打手势规定。:特征多项式。

率先,本人需求引见一下。Cayley−HamiltonCayleyHamilton定理

朝一体方向的一体nn一体正方形,它的特征多项式为p(λ)=|λE−A|=λn+b1λn−1+b2λn−2+...+bnp(λ)=|λEA|=λn+b1λn1+b2λn2+...+bn

这么显然:p(A)=0p(A)=0

执意说:AN+b1An−1+...+bn=0AN+b1An1+...+bn=0,即p(λ)p(λ)本原多项式的零点多项式。

如下,这人特征多项式可以经过高斯消去法及添写求出。

求矩阵的特征多项式

一体O(n4)O(n4)的做法

显然,本人设法对付的特征多项式是一体nn阶多项式,刚才需求发生。n+1n+1可以设法对付一些点的值。。

换句话说,本人放n+1n+1数字代替者|λE−A||λEA|介质(AS)λλ),那时强力高斯消去法那就够了设法对付一体矩阵的特征多项式。

这么,接下来,只需求添写。。

这是一种实行。n4n4说起来,驱逐矩阵乘法是极端地纠葛的。,除非将递推的项数放到101000101000大约程度,如[BZOJ4162]

因而下一体,本人思索能否可以优化组合实行。。

显然,每回n3n3矩阵决定物太慢。。

一体O(n3)O(n3)的做法

朝一体方向的大约的矩阵:A=P×B×P−1A=P×B×P1

A,BA,B是使巩固的,执意说,朝一体方向的A,BA,B的特征多项式等于。

破土仍然宽裕的的。,只保存每行和每行私下的相干。。

朝一体方向的大约的矩阵,本人称之为上海森贝格矩阵。。

a1,1a2,10⋮0a1,2a2,2a3,2⋮0a1,3a2,3a3,3⋮0⋯⋯⋯⋱⋯a1,na2,Na3,n⋮an,n(a1,1a1,2a1,3a1,na2,1a2,2a2,3a2,n0a3,2a3,3a3,n000an,n)

这么,朝一体方向的大约的矩阵,决定决定物的工夫复合物蒸发为n2n2了!

那时,上将工夫复合物是n3+n2logmn3+n2logm,或为了n3+nlognlogmn3+nlognlogm(缺勤鸡蛋),那时为了n3logmn3logm矩阵乘法产生了一体清楚的的优点(FAG)。

显然,说起来,上级的这些东西并产生断层这么有益于。

但仍然施惠于发生的。,倘若他边框了你怎么办?

常系数线性的齐次递推的矩阵的特征多项式

精确地解释:递推语句是fi=∑j=1naj×fi−j,i>nfi=j=1naj×fij,i>n的递推。

摆现实性,这很有益于。

几乎常系数线性的齐次循环,它们的矩阵露面是使巩固的。,同一,他们的特征多项式也类推...

说起来,你可以经过手工笔触找到它。,它们的特征多项式都是p(λ)=λn−a1λn−1−a2λn−2−...−anp(λ)=λna1λn1a2λn2...an

禀承决定物的精确地解释形成式子退一下就设法对付啦!

特征多项式的应用手册

说起来,应用方法很简略啦,执意运用以前设法对付的特征多项式美质,p(a)=a b1an=1+ bN=0p(A)=AN+b1An1+...+bn=0

这么,朝一体方向的大约的语句,你什么都能做。AKAKA0∼AnA0An的矩阵线性的表达出版了。

Ax+y=Ax×AyAx+y=Ax×Ay

这么Ax=∑i=0nbi×Ai,Ay=∑i=0nci×AiAx=i=0nbi×Ai,Ay=i=0nci×Ai

换句话说:Ax+y=∑i=0n∑j=0nbi×cj×Ai+jAx+y=i=0nj=0nbi×cj×Ai+j

因有:p(A)=0p(A)=0执意说:Ax+y=∑k=02×n(∑i=0min(n,k)bick−i)Akmodp(λ)Ax+y=k=02×n(i=0min(n,k)bicki)Akmodp(λ)

那时很清楚的,你可以应用乘法(说起来,聪明的功率),执意说,本人有一体。。n2logmn2logm不均一的循环。

朝一体方向的这些强力作用,你可以应用它们。NTTNTTFFTFFT优化组合多项式乘法和多项式采样。。

执意说,本人有一体。nlognlogmnlognlogm优良实行!(把你的头写下来。)

几乎答案

Ax=∑i=0nbi×AiAx=i=0nbi×Ai

这人式子早已给本人答案了,执意说,这人矩阵的后面。nn放针项主语加系数。,但显然这是现实性。n4n4

倘若规定fmfm的话,这件事只需求应用。f0∼fnf0fn那就够了

倘若本人找到一体矩阵,让本人通权达变吧。

习题.jpg

求矩阵特征多项式裸题:[BZOJ4162]

常系数线性的齐次递推n2logmn2logm裸题:[BZOJ4161]

高纠葛的东西:[诺伊 2017 游泳池]

附件

NOI 2017 游泳池 题解

对我来说,或许我但是获得。k≤2000k2000,倘若它更大,它祝福废除使住满人。

率先,70点的强力基本与[UNR的强力]等于。 2 劳累与恶心

可能性推一体。f[i][j],s[i][j]f[i][j],s[i][j]那就够了,[我小病再写]

其余的的是转变到矩阵使成形的转变。,大约你才干变成优良。9090分了。

最不可能的,由于上级的状态,倘若你优化组合它,你可以把这人问题支持AC。!

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